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1、【证法1】（梅文鼎证明）　　做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形。

2、使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. 　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,　　∴ ∠EGF = ∠BED，　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°。

3、　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90°　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形. 　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,　　∴ ∠ABC = ∠EBD.　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 　　即 ∠CBD= 90°　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°。

4、　　BC = BD = a.　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形.　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.　　设多边形GHCBE的面积为S，则　　,　　∴ .　　【证法2】（项明达证明）　　做两个全等的直角三角形。

5、设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.　　过点Q作QP∥BC。

6、交AC于点P. 　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点　　F作FN⊥PQ，垂足为N. 　　∵ ∠BCA = 90°。

7、QP∥BC，　　∴ ∠MPC = 90°，　　∵ BM⊥PQ。

8、　　∴ ∠BMP = 90°，　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °。

9、　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，　　∴ ∠QBM = ∠ABC，　　又∵ ∠BMP = 90°。

10、∠BCA = 90°，BQ = BA = c，　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.　　【证法3】（赵浩杰证明）　　做两个全等的直角三角形。

11、设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG。

12、　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，　　∴FI=a。

13、　　∴G,I,J在同一直线上，　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c。

14、　　∠CJB = ∠CFD = 90°，　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，　　同理。

15、RtΔABG ≌ RtΔADE，　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE　　∴∠ABG = ∠BCJ,　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°,　　∵∠ABC= 90°,　　∴G,B,I,J在同一直线上，　　【证法4】（欧几里得证明）　　做三个边长分别为a、b、c的正方形。

16、把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结　　BF、CD. 过C作CL⊥DE。

17、　　交AB于点M，交DE于点L. 　　∵ AF = AC，AB = AD。

18、　　∠FAB = ∠GAD，　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，　　∵ ΔFAB的面积等于。

19、　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM　　的面积的一半，　　∴ 矩形ADLM的面积 =.　　同理可证，矩形MLEB的面积 =.　　∵ 正方形ADEB的面积 　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积　　∴ 。

20、即 a^2+b^2=c^2。

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